矩阵理论佯谬两则
我是一个喜欢多想的人，有时候想的太多，会把自己也给绕进去。
以下两则就是在学矩阵的时候，自己把自己绕进去的两个逻辑。
逻辑上看起来是对的，但是结论是反直觉的，是以称之为佯谬。
第一个可能触及本质些，第二个其实回过头来看看很扯淡。估计只有我这样的，在思考的时候只愿意抱着『1+1=2』之类的基本公理前进，拒绝任何一丁点儿的直觉的人，才会被绕进去罢。
其一：实正定矩阵一定是对称阵？
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在评论区与人发生了争执，我觉得关键在于，我们对于『正定』的理解不同。我理解的正定，可能是广义的正定，其定义为：在某个数域上，如果对于任意的列向量 $x$ 和方阵 $A$，都有 $x^*Ax>0$，则称 $A$ 为正定的。而在某些地方，对 A 有 Hermite 阵的要求，从实用的角度来说，这是无可厚非的：毕竟用 Hermite 阵就可以表示所有二次型了。
如果按照狭义的定义来的话，这个所谓的『佯谬』从定义上就被确定了，没有了讨论的必要。
另外，半年之后，我重新审视这文章的时候，发现在某几个地方我把正定和半正定搞混了。やれやれ，不想修改了，就这样吧。
初看这个命题，毫无疑问可以判断其为错误的。显然可以举一个反例，既是非对称阵，又是实正定矩阵。最简单的，二阶阵中，考虑如下矩阵：
$$ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ y & 1 \end{array} \right) $$
只要 $x + y = 2$，那么只要展开该矩阵的二次型，就可以发现，该矩阵必然是实正定矩阵。显然它不一定是对称阵。
那么现在来看这个命题，复数域下的正定矩阵 A 一定为 Hermite 阵。这个也是伪命题吗？
不，它是个真命题。如何证明呢？方法比较扯淡，大概思路就是 $ A = (A - A^* )/2 + (A + A^* )/2 $，然后把这个矩阵等式改成对应的二次型等式，那么因为右边第一个矩阵是反 Hermite 阵，其二次型只能是 0 或者纯虚数。又因为 A 正定，因此左边二次型是实数，又由于右边第二项是 Hermite 阵的二次型，也为实数，所以右边第一项二次型必然是实数，所以它只能是 0，也就是说 A 是 Hermite 阵。
那么，可以显然把所有的复数域下的正定矩阵分成两类，一类元素全是实数，一类元素有非实数。显然前者就是所有实数域下的正定矩阵，根据这个真命题，他们都是 Hermite 阵，而实数 Hermite 阵不就是对称矩阵嘛？所以说所有实正定矩阵都是对称阵？这不是和之前提到的那个伪命题一样了吗？也就是说一个真命题蕴含了一个伪命题，而这显然是不科学的。
此为佯谬一。
其二：旋转和反射是同一种变换？
这个佯谬似乎要 low 一点，且待我尝试运用一下马赛克诡计。
首先声明，这里讨论的是欧氏空间，也就是定义了正常内积的实线性空间。
显然，根据生活常识，旋转和反射看上去就不是同一种变换，实际上它们当然不是同一种变换。
现在考虑二阶的情况，在 I - I 基下，所有的正交变换对应的矩阵只可能是以下两种形式之一：
$$ \left( \begin{array}{cc} c & s \\ -s & c \end{array} \right) \quad or \quad \left( \begin{array}{cc} c & s \\ s & -c \end{array} \right) $$
其中 $c^2 + s^2 = 1$ 。
矩阵理论的课本告诉我们，前者对应的变换为旋转变换，后者对应的变换为反射变换。
那么现在考虑二维空间中的任意两个向量 $\alpha$ 和 $\beta$，根据直觉，显然有一个旋转变换能把 $\alpha$ 变换成 $\beta$ ，同样的，也有一个镜面反射变换能把 $\alpha$ 变成 $\beta$，也就是说，这两个变换的效果是一样的，所以这两个变换对应的矩阵就是一样的，也就是说：
$$ A_{rotation}=A_{reflection}=\left( \begin{array}{cc} c_1 & s_1 \\ -s_1 & c_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} c_2 & s_2 \\ s_2 & -c_2 \end{array} \right) $$
矩阵相等，对应元素相等，所以 $c_1=c_2=-c_2$，所以 $c_1=c_2=0$，所以两个矩阵都是零。这显然是不对的。
此为佯谬二。
外一篇：为什么可以用二次方程的特征根解数列通项？
学矩阵理论对于重建世界观还是很有帮助的，曾经看不到意义的东西，现在看来非常明了了。
高中的时候我们就知道，如果遇到有二阶递推的数列，比如 Fibonacci 数列，可以列一个二次方程求特征根来求解数列的通项公式，此为不动点法。
但是这是为什么呢？数列的递推跟二次方程有个毛关系呢？为什么一定要这样呢？高中的时候我就思考过这个问题，曾经尝试在解析几何上去想像它，在纸上画了一个阿基米德螺旋线一样的玩意儿，好像是收敛到不动点的样子。然而还是不大懂。
有了矩阵，一切就好办多了。最简单的，考虑 Fibonacci 数列的递推 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$，则可以列出以下矩阵递推，顺手就可以得到通项：
$$ \left( \begin{array}{c} a_n \\ a_{n-1} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{array} \right)= {\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)}^{n-1} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_0 \end{array} \right)$$
接下来只要解决矩阵乘方的问题就好了，例子里的这个矩阵，显然可以正交对角化。更一般的，只要 $a_{n-2}$ 前面的系数是 1 ，这个矩阵就可以酉对角化。
那么如果递推矩阵不是对称阵，怎么办呢？那就没得破了，唯一的好消息是矩阵的任意次方都可以用它的 0 到 n - 1 次方来线性表示（Cayley-Hamilton 定理），所以至少做多要算 n 个乘法罢……